Wetenschappelijke notatie (power-of-10 notatie)

Wetenschappelijke notatie, ook wel power-of-10 notatie genoemd, is een methode om extreem grote en kleine getallen te schrijven. Er zijn twee vormen van dit schema; de ene komt verreweg het meest voor.

In de gangbare wetenschappelijke notatie kan elke grootheid die niet nul is in twee delen worden uitgedrukt: een coëfficiënt waarvan de absolute waarde groter of gelijk is aan 1 maar kleiner dan 10, en een macht van 10 waarmee de coëfficiënt wordt vermenigvuldigd. In sommige geschriften liggen de coëfficiënten dichter bij nul met een orde van grootte. In dit schema wordt elke grootheid die niet nul is, uitgedrukt in twee delen: een coëfficiënt waarvan de absolute waarde groter is dan of gelijk aan 0,1 maar kleiner dan 1, en een macht van 10 waarmee de coëfficiënt wordt vermenigvuldigd. De hoeveelheid nul wordt aangeduid als 0, tenzij nauwkeurigheid vereist is, in welk geval het vereiste aantal significante cijfers wordt uitgeschreven -- bijvoorbeeld 0.00000.

Voor getallen van redelijke grootte wordt vaak de conventionele decimale notatie gebruikt, zelfs in wetenschappelijke geschriften. Laat s een getal zijn, afgerond of afgekapt op enkele significante cijfers. Als de absolute waarde van s ten minste 0,001 (10 -3 ) maar minder dan 10.000 (10 4 ) is, dan wordt s meestal voluit geschreven. Voorbeelden zijn 21,3389 en -0,002355. Als de absolute waarde van s echter kleiner is dan 0,001 of als ze 10.000 of groter is, dan wordt meestal de voorkeur gegeven aan wetenschappelijke notatie, omdat het verwarrend en rommelig kan zijn om zulke getallen in decimale vorm uit te schrijven. Dit is vooral het geval wanneer de absolute waarde van s zeer dicht bij nul ligt of zeer groot is. Het is bijvoorbeeld onhandig om de uitdrukkingen 6,0205 x 10 74 of -0,64453 x 10 -45 in decimale vorm uit te schrijven.

In de tabel staan enkele voorbeelden van getallen die in de standaard decimale notatie (linkerkolom) en in de wetenschappelijke notatie (rechterkolom) worden geschreven. Voor negatieve getallen zijn de waarden gewoon spiegelbeeldige positieve getallen; voor de waarden is een minteken geplaatst. Het aantal cijfers in de coëfficiënt is het aantal significante cijfers. Merk op dat een uitdrukking verschillende precisiegraden kan hebben; hoe groter het aantal significante cijfers, hoe groter de precisie.

Getal in decimale vorm Voorbeelden in wetenschappelijke notatie
-9.876.543.210 -9.87654 x 10 9 (ongeveer)
-9.876543210 x 10 9 (precies)
-0.987654 x 10 10 (ongeveer)
-0.9876543210 x 10 10 (precies)

De wetenschappelijke notatie maakt het gemakkelijk om reusachtige en/of minuscule getallen te vermenigvuldigen en te delen, wanneer het gebruik van decimale notatie tot frustratie zou leiden. Neem bijvoorbeeld het volgende product:

2,56 x 10 67 x -8,33 x 10 -54

Om het product van deze twee getallen te verkrijgen, worden de coëfficiënten vermenigvuldigd, en de machten van 10 opgeteld. Dit levert het volgende resultaat op:

2,56 x (-8,33) x 10 67+(-54)
= 2,56 x (-8,33) x 10 67-54
= -21,3248 x 10 13

De juiste vorm van de gebruikelijke wetenschappelijke notatie vereist dat de absolute waarde van de coëfficiënt groter dan 1 en kleiner dan 10 is. De coëfficiënt in bovenstaande uitdrukking moet dus worden gedeeld door 10 en de macht van 10 moet met één worden verhoogd, zodat:

-2.13248 x 10 14

Omdat beide vermenigvuldigingsfactoren in het oorspronkelijke product slechts in drie significante cijfers zijn gespecificeerd, kan een wetenschapper het nodig achten de uiteindelijke uitdrukking ook op drie significante cijfers af te ronden, wat oplevert:

-2.13 x 10 14

als product.

Nu het quotiënt van de twee vermenigvuldigde getallen uit het vorige voorbeeld:

(2,56 x 10 67 ) / (-8,33 x 10 -54 )

Om het quotiënt te verkrijgen, worden de coëfficiënten gedeeld, en de machten van 10 afgetrokken. Dit geeft het volgende:

(2,56 / (-8,33)) x 10 67-(-54)
= (2,56 / (-8,33)) x 10 67+54
= -0,30732 x 10 121

De juiste vorm van de gebruikelijke wetenschappelijke notatie vereist dat de absolute waarde van de coëfficiënt groter dan 1 en kleiner dan 10 is. De coëfficiënt in bovenstaande uitdrukking moet dus met 10 worden vermenigvuldigd en de macht van 10 met één worden verminderd, zodat:

-3,0732 x 10 120

Omdat beide getallen in het oorspronkelijke quotiënt slechts tot drie significante cijfers zijn gespecificeerd, kan een wetenschapper het nodig achten de uiteindelijke uitdrukking ook op drie significante cijfers af te ronden, zodat:

-3,07 x 10 120

het quotiënt is.

Zie ook orde van grootte en significante cijfers .