Oneindigheid

In het algemeen is oneindigheid de eigenschap of toestand van eindeloosheid of het hebben van geen grenzen in termen van tijd, ruimte, of andere grootheid. In de wiskunde is oneindigheid de conceptuele uitdrukking van zo'n "getalsloos" getal. Het wordt vaak gesymboliseerd door de lemniscaat (ook bekend als de lemniscaat van Bernoulli ), die er ongeveer uitziet als het cijfer 8 zijwaarts geschreven ( infinity.jpg). Dit symbool voor oneindigheid werd voor het eerst gebruikt in de jaren 1600 door de wiskundige John Wallis.

Infiniteit kan worden gedefinieerd als de limiet van 1/ x als x de nul nadert. Soms zegt men dat 1/0 gelijk is aan oneindig, maar technisch gezien is deling door nul niet gedefinieerd. Een ander begrip is dat oneindig een grootheid x is zodanig dat x + 1 = x . Het idee is dat de grootheid zo groot is (positief of negatief) dat het verhogen van de waarde met 1 haar niet verandert.

Een verzameling (zie verzamelingenleer ) kan als oneindig worden gedefinieerd als er een één-op-één correspondentie bestaat tussen die verzameling en een eigen deelverzameling van zichzelf. Volgens deze definitie is de verzameling gehele s oneindig omdat de elementen ervan één-op-één kunnen worden gekoppeld aan alle even gehele getallen:

... -3 -2 -1 1 2 3 ...
... -6 -4 -2 2 4 6 ...

The converse of the above statement is not always true. Some infinite sets have infinite proper subsets such that they cannot be paired off one-to-one. An example is the set of real number s and its proper subset, the set of integers.

In the 1800s, Georg Cantor defined infinity in terms of the cardinalities of infinite sets. The cardinality of a set is the number of elements in the set. In this sense, the cardinality of the set of integers is smaller than the cardinality of the set of real numbers, even though both sets are infinite. De verzameling gehele getallen is telbaar (alle elementen ervan kunnen worden verantwoord door middel van een lijstschema), terwijl de verzameling reële getallen niet telbaar is.

In een meer nuchtere betekenis worden de woorden "nadert de oneindigheid" gebruikt in plaats van de woorden "neemt onbeperkt toe". Zo zegt men dat de limiet van 1/ x , als x de oneindigheid nadert, gelijk is aan nul. In deze context staat oneindig niet voor een gedefinieerde grootheid, maar is het slechts een handige uitdrukking.

Zie ook Wiskundige symbolen .