Irrationaal getal

Een irrationaal getal is een reëel getal dat niet herleid kan worden tot een verhouding tussen een geheel getal p en een natuurlijk getal q . De unie van de verzameling irrationale getallen en de verzameling rationale getallen vormt de verzameling reële getallen. In wiskundige uitdrukkingen worden onbekende of ongespecificeerde irrationalen gewoonlijk voorgesteld door u tot en met z. Irrationale getallen zijn in de eerste plaats van belang voor theoretici. Abstracte wiskunde heeft potentieel verreikende toepassingen in communicatie en computerwetenschap, vooral in gegevensversleuteling en -beveiliging.

Voorbeelden van irrationale getallen zijn 2 1/2 (de vierkantswortel van 2), 3 1/3 (de derdemachtswortel van 3), de cirkieverhouding pi, en de natuurlijke logaritme basis e . De hoeveelheden 2 1/2 en 3 1/3 zijn voorbeelden van algebraïsche getallen. Pi en e zijn voorbeelden van speciale irrationalen die transcendentale getallen worden genoemd. De decimale uitbreiding van een irrationaal getal is altijd niet-beëindigend (het eindigt nooit) en niet-herhalend (de cijfers vertonen geen repeterend patroon).

Als x en z irrationalen zijn zodat x < z, dan bestaat er altijd een irrationaal y zodat x < y < z. De verzameling irrationalen is "dicht" zoals de verzameling Q van rationale getallen. Maar theoretisch is de verzameling van irrationalen "dichter". In tegenstelling tot Q is de verzameling van irrationalen niet aftelbaar. Er zijn meer niet-aflopende, niet-herhalende decimalen dan er opgesomd kunnen worden, zelfs bij implicatie. Om dit te bewijzen, stel dat er een impliciete lijst is van alle niet-aflopende, niet-herhalende decimale getallen tussen 0 en 1. Elk van die getallen bestaat uit een nul gevolgd door een decimaalpunt, gevolgd door een oneindige reeks cijfers uit de verzameling {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Suppose the elements of the list are denoted x 1, x 2 , x 3, ... and the digits in the numbers are denoted a ii. The list can be written like this:

x 1 = 0. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 ...
x 2 = 0. a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 ...
x 3 = 0. a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 ...
x 4 = 0. a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 ...
x 5 = 0. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 ...
x 6 = 0. a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 ...
...

Even though we don't know the actual values of any of the digits, it is easy to imagine a number between 0 and 1 that can't be in this list. Think of a number y of the following form:

y = 0. b 11 b 22 b 33 b 44 b 55 b 66 ...

such that no b ii in y is equal to the corresponding a ii in the list. Het resulterende getal y is niet-aflopend en niet-herhalend, ligt tussen 0 en 1, maar is niet gelijk aan een x i in de lijst, omdat er altijd minstens één cijfer is dat niet overeenkomt.

De ontelbaarbaarheid van de verzameling irrationale getallen heeft verregaande implicaties. Het meest bizarre is misschien wel de notie dat "niet alle oneindigheden gelijk geschapen zijn". Hoewel de verzameling van rationale getallen en de verzameling van irrationele getallen beide oneindig zijn, is de verzameling van irrationele getallen op een aantoonbare manier groter.